Euclides de Alexandria

Euclides Pouco se sabe sobre a vida e a personalidade de Euclides e se desconhece a data de seu nascimento. É provável que sua formação matemática tenha ocorrido na escola platônica de Atenas. Ele foi professor do Museu em Alexandria. Euclides escreveu cerca de uma dúzia de tratados, cobrindo tópicos desde óptica, astronomia, música e mecânica até um livro sobre secções cônicas; porém, mais da metade do que ele escreveu se perdeu. Entre as obras que sobreviveram até hoje temos: Os Elementos, Os dados, Divisão de figuras, Os fenômenos e Óptica. Os Elementos de Euclides não tratam apenas de geometria, mas também de teoria dos números e álgebra elementar (geométrica). O livro se compõe de quatrocentos e sessenta e cinco proposições distribuídas em treze livros, dos quais os seis primeiros são sobre geometria plana elementar, os três seguintes sobre teoria dos números, o décimo livro relata sobre incomensuráveis e os três últimos tratam sobre geometria no espaço. O livro I começa com definições, axiomas e postulados e inclui quarenta e oito proposições. Acredita-se que a maioria do material desse livro foi desenvolvido pelos antigos pitagóricos. O livro II apresenta quatorze proposições que lidam com transformações de áreas e com a álgebra geométrica da escola pitagórica, que inclui os equivalentes geométricos de muitas identidades algébricas. O livro III consiste em trinta e nove proposições contendo muitos dos teoremas familiares sobre círculos, cordas, secantes, tangentes e medidas de ângulos. No livro IV, encontramos dezesseis proposições que discutem a construção, com régua e compasso, de polígonos regulares de três, quatro, cinco, seis e quinze lados, bem como inscrição desses polígonos num círculo dado. O livro V é uma exposição da teoria das proporções de Eudoxo. Foi por meio dessa teoria, aplicável tanto a grandezas comensuráveis como a grandezas incomensuráveis, que se resolveu o problema dos números irracionais descobertos pelos pitagóricos. O livro VI aplica a teoria eudoxiana das proporções à geometria plana. Encontramos nele os teoremas fundamentais da semelhança de triângulos; a resolução geométrica de equações quadráticas; a demonstração sobre a bissetriz de um ângulo de um triângulo; uma generalização do teorema de Pitágoras. O livro VII fala sobre o algoritmo euclidiano e também traz uma exposição da teoria das proporções numérica ou pitagórica. O livro VIII ocupa-se largamente das proporções contínuas e progressões geométricas relacionadas. O livro IX contém: teorema fundamental da aritmética; fórmula da soma dos primeiros n termos de uma progressão geométrica; fórmula para números perfeitos. O livro X focaliza os irracionais, isto é, comprimentos de segmentos de reta incomensuráveis com um segmento de reta dado. Os três últimos livros, XI, XII, XIII tratam de geometria sólida. As definições, os teoremas sobre retas e planos no espaço e os teoremas sobre paralelepípedos se encontram no livro XI. O método de exaustão desempenhada um papel importante na abordagem de volumes do livro XII. No livro XIII se desenvolvem construções visando a inscrição dos cinco poliedros regulares numa esfera. Segundo Proclo, os gregos antigos definiam os "elementos" de um estudo dedutivo como os teoremas-mestre, de uso geral e amplo no assunto. Euclides, no livro Os Elementos, tomou como base cinco axiomas e cinco postulados geométricos e tentou deduzir todas as suas quatrocentos e sessenta e cinco proposições dessas dez afirmações. Certamente um dos grandes feitos dos matemáticos gregos antigos foi a criação da forma postulacional de raciocínio.